Module 2
Proportionnalité et pourcentages
Reconnaître la proportionnalité, règle de trois, pourcentages et TVA, dosages, rendements, partages et comparaison de deux offres.
Rappel de cours
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité. Deux fois plus de sacs, deux fois plus cher.
Un sac de colle coûte 12 €. 1 sac : 12 €, 3 sacs : 36 €, 10 sacs : 120 €. On multiplie toujours par 12 : c’est proportionnel.
Dès qu’il y a un forfait (livraison, montage, déplacement), ce n’est plus proportionnel.
Une benne coûte 90 € de livraison plus 12 € par jour. 1 jour : 102 €, 2 jours : 114 €. Deux fois plus de jours, mais pas deux fois plus cher.
Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne une droite qui passe par l’origine. Avec un forfait, la droite part plus haut.
Le tableau et le coefficient
On range les valeurs dans un tableau. Le coefficient s’obtient en divisant une valeur du bas par la valeur du dessus.
| Surface (m²) | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Colle (kg) | 9 | 22,5 | 36 |
9 ÷ 2 = 22,5 ÷ 5 = 36 ÷ 8 = 4,5 : il faut 4,5 kg de colle par m².
Le produit en croix (la règle de trois)
Quand on connaît trois valeurs d’un tableau de proportionnalité, on trouve la quatrième : on multiplie les deux nombres en diagonale, puis on divise par le troisième.
4 m² demandent 30 kg de colle. Pour 7 m² : 7 × 30 ÷ 4 = 52,5 kg. En passant par l’unité : 30 ÷ 4 = 7,5 kg pour 1 m², puis 7,5 × 7 = 52,5 kg.
Les pourcentages
- Prendre t % d’une quantité, c’est la multiplier par t ÷ 100 : 15 % de 240 = 240 × 0,15 = 36.
- Retrouver un pourcentage : partie ÷ total × 100. Une remise de 30 € sur 150 €, c’est 30 ÷ 150 × 100 = 20 %.
- Augmenter de t %, c’est multiplier par 1 + t ÷ 100 : +20 % donne × 1,20. Baisser de t %, c’est multiplier par 1 − t ÷ 100 : −15 % donne × 0,85. Ce nombre est le coefficient multiplicateur.
- Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients. On n’additionne jamais les pourcentages.
Le piège : +20 % puis −20 % ne ramène pas au prix de départ. 100 € deviennent 120 €, puis 120 × 0,80 = 96 €. Avec les coefficients : 1,20 × 0,80 = 0,96, soit une baisse de 4 %.
La TVA
Le prix HT (hors taxes) est celui de l’entreprise. Le client paie le prix TTC (toutes taxes comprises) : TTC = HT × (1 + taux).
| Taux | Travaux concernés | Coefficient |
|---|---|---|
| 20 % | taux normal : construction neuve, matériaux achetés seuls | × 1,20 |
| 10 % | amélioration, rénovation, entretien d’un logement de plus de 2 ans | × 1,10 |
| 5,5 % | rénovation énergétique (isolation, chauffage performant) d’un logement de plus de 2 ans | × 1,055 |
Pour retrouver le HT à partir du TTC, on divise par le coefficient.
1 200 € TTC à 20 % : 1 200 ÷ 1,20 = 1 000 € HT. Le piège : 1 200 × 0,80 = 960 € est faux, car les 20 % se calculent sur le HT, pas sur le TTC.
Les dosages
Un dosage est une proportion : il reste le même, quelle que soit la quantité gâchée.
- Mortier courant : 1 volume de ciment pour 3 volumes de sable (« 1 pour 3 »). Le ciment fait 1 part sur 4, soit 25 % du mélange sec.
- Béton courant : 350 kg de ciment par m³ de béton (« béton dosé à 350 »).
- Eau de gâchage : environ la moitié de la masse de ciment, soit à peu près 175 L d’eau pour 350 kg de ciment.
Rendements, durées et débits
Un rendement est une quantité de travail faite en une heure (8 m² de plaques par heure). Un débit est une quantité qui passe en un temps donné, souvent la minute ou l’heure (150 L par minute, 9 m³ par heure).
temps = quantité ÷ rendement · quantité = rendement × temps
120 m² de plaques à 8 m² par heure : 120 ÷ 8 = 15 h.
Attention : deux ouvriers au même rythme mettent deux fois moins de temps. Le temps n’est pas proportionnel au nombre d’ouvriers : il varie en sens inverse.
Le partage proportionnel
Pour partager une somme proportionnellement (aux jours, aux m², aux tonnes), on calcule ce que vaut une part, puis on multiplie.
Une benne à 600 € sert au maçon (2 tonnes de gravats) et au plaquiste (1 tonne). 3 tonnes en tout : 600 ÷ 3 = 200 € la tonne. Maçon : 2 × 200 = 400 €. Plaquiste : 200 €.
Pertes et chutes
On commande toujours un peu plus que la surface exacte, pour les coupes et la casse. Ajouter 10 %, c’est multiplier par 1,10.
30 m² de carrelage avec 10 % de chutes : 30 × 1,10 = 33 m². Pour des cartons ou des sacs, on arrondit ensuite au-dessus.
Comparer deux offres
Une offre « forfait + prix par jour » s’écrit : prix = forfait + prix d’un jour × nombre de jours. Au brevet, c’est une fonction affine f(x) = ax + b. On compare deux offres avec un tableau, un graphique, ou en cherchant le nombre de jours pour lequel elles coûtent pareil.
Offre A : 60 € + 10 € par jour. Offre B : 25 € par jour. Même prix quand 60 + 10x = 25x, soit 60 = 15x, donc x = 4 jours (100 € chacune). En dessous de 4 jours, B est moins chère. Au-delà, c’est A.