Module 4
Géométrie plane
Aires et périmètres, cercle et arche, Pythagore et équerrage, Thalès, angles, trigonométrie et pentes de toit.
Rappel de cours
Périmètres et aires
Le périmètre est la longueur du tour (en m). L’aire est la surface (en m²). Une figure composée se découpe en figures simples, ou bien on calcule la grande figure et on enlève les trous (fenêtres, portes).
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Rectangle L × l | 2 × (L + l) | L × l |
| Carré de côté c | 4 × c | c × c = c² |
| Triangle, base b, hauteur h | somme des 3 côtés | b × h ÷ 2 |
| Trapèze, bases B et b, hauteur h | somme des 4 côtés | (B + b) × h ÷ 2 |
| Disque de rayon r | 2 × π × r | π × r² |
Le pignon ci-dessus : rectangle 8,00 × 2,50 = 20 m², triangle 8,00 × 2,00 ÷ 2 = 8 m², fenêtre 1,20 × 1,00 = 1,2 m². Surface à enduire : 20 + 8 − 1,2 = 26,8 m².
La hauteur d’un triangle est toujours perpendiculaire à sa base. Pour un pignon, c’est la distance entre le faîtage et le haut des murs.
Le cercle et l’arche
Le périmètre d’un cercle vaut 2 × π × r, ou π × d avec le diamètre d. Une arche en demi-cercle mesure la moitié : π × r. On prend π ≈ 3,14 ou la touche π de la calculatrice.
Arche de 1,20 m de large : r = 0,60 m. Longueur de l’arc : π × 0,60 ≈ 3,14 × 0,60 ≈ 1,88 m.
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté en face de l’angle droit, le plus long) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
AC² = AB² + BC²
Diagonale d’une pièce de 4,00 m × 3,00 m : d² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, donc d = √25 = 5,00 m.
Un côté de l’angle droit : hypoténuse 13, autre côté 5. Côté² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc 12. Pour un côté de l’angle droit, on soustrait.
La réciproque sert à vérifier un angle droit : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l’est pas.
L’équerrage 3-4-5 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Sur le chantier, on mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l’autre : si la diagonale fait 5 m, l’angle est droit. Pour plus de précision on prend 6-8-10, ou 60-80-100 en cm pour un petit ouvrage. Pour un rectangle dont les côtés opposés sont égaux, on vérifie aussi que les deux diagonales sont égales.
Le théorème de Thalès et les triangles semblables
Deux triangles qui ont les mêmes angles sont semblables : leurs côtés sont proportionnels. C’est le cas quand une droite coupe un triangle parallèlement à un de ses côtés (configuration de Thalès), ou pour deux objets verticaux et leur ombre au même moment.
Un piquet de 1,00 m a une ombre de 0,80 m. Au même moment, l’ombre d’un arbre mesure 6,00 m. Hauteur de l’arbre : 6,00 ÷ 0,80 × 1,00 = 7,50 m.
Agrandissement et réduction : si toutes les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
Un gabarit agrandi 3 fois : longueurs × 3, aire × 9.
Les angles
- La somme des angles d’un triangle vaut 180°.
- Dans un triangle isocèle, comme un pignon symétrique, les deux angles à la base sont égaux.
- Deux angles qui forment un angle plat sont supplémentaires : leur somme vaut 180°.
- Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux et des angles correspondants égaux.
Pignon symétrique, angle au faîtage 110° : chaque angle à la base vaut (180 − 110) ÷ 2 = 35°.
La trigonométrie dans le triangle rectangle
Pour un angle aigu α d’un triangle rectangle (voir la figure plus haut) :
cos α = adjacent ÷ hypoténuse · sin α = opposé ÷ hypoténuse · tan α = opposé ÷ adjacent
Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA. Pour retrouver l’angle, on utilise cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (souvent « 2nde » ou « shift » puis cos, sin, tan), calculatrice réglée en degrés.
Valeurs à reconnaître : cos 60° = 0,5 · sin 30° = 0,5 · tan 45° = 1 · cos 30° ≈ 0,866 · tan 30° ≈ 0,577.
Rampant d’un toit : demi-largeur 4,00 m, pente 30°. cos 30° = 4,00 ÷ rampant, donc rampant = 4,00 ÷ cos 30° ≈ 4,00 ÷ 0,866 ≈ 4,62 m.
La pente en % et en degrés
La pente en % est la montée pour 100 de distance horizontale : pente = montée ÷ distance horizontale × 100. C’est aussi tan α × 100, où α est l’angle avec l’horizontale.
Un toit monte de 1,40 m sur 4,00 m : 1,40 ÷ 4,00 = 0,35, soit une pente de 35 %. Angle : tan⁻¹(0,35) ≈ 19,3°.
100 % ne veut pas dire vertical : c’est 45°, on monte d’autant qu’on avance.
Une pente se mesure toujours sur l’horizontale, jamais le long du rampant.