Module 6
Vision dans l’espace
Solides, patrons, cubes cachés, vues, rotations, sections, pliages, volumes de chantier, agrandissement et diagonale d’un pavé.
Rappel de cours
Les solides et leur vocabulaire
Une face est une surface qui limite le solide, une arête est le segment où deux faces se rencontrent, un sommet est un coin où plusieurs arêtes se rejoignent.
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets | Sur le chantier |
|---|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés | 12 | 8 | éprouvette cubique de béton |
| Pavé droit | 6 rectangles | 12 | 8 | parpaing plein, poutre, pièce |
| Prisme droit à base triangulaire | 2 triangles et 3 rectangles | 9 | 6 | comble à deux pans |
| Pyramide à base carrée | 1 carré et 4 triangles | 8 | 5 | chapeau de pilier |
| Cylindre | 2 disques et 1 face courbe | pas d’arête droite | 0 | poteau rond, buse |
| Cône | 1 disque et 1 face courbe | pas d’arête droite | 1 | tas de sable, plot |
Contrôle pour les solides à faces plates : faces + sommets − arêtes = 2. Pour le cube : 6 + 8 − 12 = 2.
Les patrons
Un patron est une figure plane, d’un seul morceau, qu’on découpe et qu’on plie pour fabriquer le solide, sans trou ni recouvrement. Le cube a 11 patrons différents.
- Sur une ligne droite de trois carrés, le premier et le troisième deviennent des faces opposées.
- Deux carrés qui se touchent par un côté sur le patron deviennent des faces voisines.
- Un bloc de 2 × 2 carrés ne se replie jamais en cube. Deux carrés accrochés du même côté d’une bande de quatre se superposent.
- Le patron d’un pavé a 6 rectangles, égaux deux à deux. Celui d’un prisme de toit a 2 triangles et 3 rectangles.
Pour tester un patron dans ta tête : choisis un carré comme fond de la boîte, puis relève les autres un par un, comme les côtés d’un carton qu’on monte.
Compter les cubes d’un assemblage
Dans ce module, les cubes sont posés sur un sol et aucun cube ne flotte : un cube vu en hauteur repose forcément sur d’autres cubes, même cachés. On compte colonne par colonne : on repère chaque colonne par son dessus, puis on compte sa hauteur.
On voit 4 cubes. La colonne du fond a 2 cubes (celui du haut cache celui du bas), les trois autres colonnes ont 1 cube. Total : 2 + 1 + 1 + 1 = 5 cubes.
Les vues de face, de droite et de dessus
Une vue, c’est ce qu’on voit en regardant l’objet bien en face, sans perspective : chaque colonne devient une pile de carrés. Les conventions de ce module :
- vue de face : on se place au bout de la flèche « Face », la gauche reste à gauche ;
- vue de droite : on fait le tour par la droite, l’avant de l’objet se retrouve donc à gauche du dessin ;
- vue de dessus : on regarde d’en haut, l’avant de l’objet en bas du dessin.
À partir des vues, on ne connaît pas toujours l’assemblage exact. Nombre maximal de cubes : chaque colonne aussi haute que les vues le permettent. Nombre minimal : juste assez de cubes pour atteindre chaque hauteur dessinée, avec au moins un cube sur chaque case de la vue de dessus.
Tourner ou retourner une pièce
Faire tourner une pièce ne la change pas. Son reflet dans un miroir est en général une autre pièce, comme une main droite et une main gauche. Une pièce plate peut être retournée comme une crêpe pour donner son reflet ; une pièce en volume, non.
Un quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre : ce qui était en haut passe à droite, ce qui était à droite passe en bas, ce qui était en bas passe à gauche. Méthode : suis un seul carré repère (le plus isolé), puis vérifie le reste.
Plier et percer une feuille
Chaque pli double le nombre d’épaisseurs : un trou percé dans une feuille pliée 1 fois donne 2 trous, pliée 2 fois 4 trous, pliée 3 fois 8 trous. Pour déplier, on défait les plis du dernier au premier : chaque trou a son symétrique par rapport à la ligne de pli. Une encoche en demi-cercle découpée sur le pli donne un seul trou rond.
Les sections planes
Couper un solide par un plan (un trait de scie bien droit) donne une figure plane, la section.
| Solide | Coupe | Section |
|---|---|---|
| Pavé, cube | parallèle à une face | rectangle de la taille de cette face |
| Cylindre | parallèle à la base | disque de même rayon |
| Cylindre | par l’axe, ou parallèle à l’axe | rectangle |
| Cône | parallèle à la base | disque plus petit |
| Pyramide | parallèle à la base | réduction de la base (carré plus petit pour une base carrée) |
| Boule | n’importe quel plan | disque |
Pour le cône et la pyramide, la section à mi-hauteur est une réduction de la base de rapport 12 : ses longueurs sont divisées par 2.
Les volumes
Pavé : V = L × l × h · Cube : V = c × c × c = c³
Prisme droit et cylindre : V = aire de la base × hauteur · Cylindre : V = π × r² × h
Pyramide et cône : V = aire de la base × hauteur ÷ 3 · Cône : V = π × r² × h ÷ 3
1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L et 1 dm³ = 1 L. Calcule toujours avec des longueurs dans la même unité.
Poteau rond de 20 cm de diamètre et 2,50 m de haut : r = 0,10 m. V = π × 0,10² × 2,50 ≈ 0,0785 m³, soit environ 79 L de béton.
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Quand toutes les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
On double toutes les dimensions d’une caisse (k = 2) : son aire est multipliée par 4 et son volume par 8. Sur une maquette au 1/50, les aires sont divisées par 50² = 2 500 et les volumes par 50³ = 125 000.
Se repérer dans un pavé
On prend un coin du pavé comme origine O et les trois arêtes qui en partent comme axes. Un point est repéré par trois nombres (abscisse ; ordonnée ; altitude) : la longueur, la largeur et la hauteur à parcourir depuis O.
La diagonale d’un pavé se calcule avec Pythagore deux fois : d’abord la diagonale du sol, puis celle du triangle rectangle qu’elle forme avec la hauteur. En une ligne : d² = L² + l² + h².
Pavé de 4 × 3 × 12 : diagonale du sol √(4² + 3²) = √25 = 5, puis diagonale du pavé √(5² + 12²) = √169 = 13.