Module 7
Logique et raisonnement
Suites et motifs, énigmes à contraintes, vrai ou faux, algorithmes en blocs, équations, dénombrement, probabilités, statistiques, planning de chantier et plan de coupe.
Rappel de cours
Les suites logiques
Devant une suite, on cherche ce qui se passe d’un terme au suivant : on ajoute toujours le même nombre, on multiplie toujours par le même nombre, ou chaque terme dépend des précédents.
Quand on ajoute toujours le même écart, le terme numéro n vaut : premier terme + (n − 1) × écart.
5, 8, 11, 14… On ajoute 3. Le 20e terme vaut 5 + 19 × 3 = 62 (on ajoute l’écart 19 fois, pas 20).
Les motifs qui se répètent
Si un motif de 4 éléments se répète, l’élément numéro n est à la même place dans le motif que le reste de la division de n par 4. Un reste 0 veut dire : le dernier du motif.
Motif blanc, gris, gris, noir. 50 = 4 × 12 + 2 : le 50e carreau est le 2e du motif, gris.
Les énigmes à contraintes
On range les possibilités dans un tableau à double entrée : une ligne par personne, une colonne par métier (ou par jour). Chaque indice permet de barrer des cases. Quand il ne reste qu’une case possible sur une ligne ou une colonne, on la coche, puis on barre le reste de sa ligne et de sa colonne. Une bonne énigme n’a qu’une seule solution : à la fin, on relit chaque indice pour vérifier.
Vrai ou faux : preuve et contre-exemple
Pour montrer qu’une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit. Pour montrer qu’elle est vraie, des exemples ne suffisent pas : il faut une preuve qui marche pour tous les nombres, souvent avec une lettre.
« Le double d’un nombre est toujours plus grand que lui. » Faux : le double de −3 est −6, plus petit. « La somme de deux nombres pairs est paire. » Vrai : 2a + 2b = 2(a + b), un nombre pair.
Les algorithmes en blocs
Un programme Scratch s’exécute bloc par bloc, de haut en bas. Une variable est une boîte qui garde un nombre : « mettre x à 5 » remplace son contenu, « ajouter 2 à x » l’augmente de 2. « Répéter 4 fois » refait 4 fois les blocs qu’il contient. « Si … alors … sinon » choisit un chemin selon la condition.
mettre x à 2
répéter 3 fois
mettre x à x × 3
Tableau de suivi : x vaut 2, puis 6, 18, 54. À la fin, x = 54.
Pour dessiner un polygone régulier à n côtés, le lutin tourne n fois du même angle, 360° ÷ n : 120° pour un triangle équilatéral, 72° pour un pentagone.
Mettre un problème en équation
On choisit une lettre pour ce qu’on cherche, on écrit l’égalité que dit l’énoncé, puis on la résout en faisant la même opération des deux côtés. On vérifie toujours avec l’énoncé.
Un nombre multiplié par 3, plus 4, donne 25 : 3x + 4 = 25, donc 3x = 21 et x = 7. Vérification : 3 × 7 + 4 = 25.
Dénombrer
- Choix successifs : on multiplie les nombres de choix (2 types de joint et 5 coloris : 2 × 5 = 10 possibilités).
- Ranger n éléments dans un ordre : n × (n − 1) × … × 1 (3 tâches : 3 × 2 × 1 = 6 ordres).
- Choisir 2 éléments parmi n, sans tenir compte de l’ordre : n × (n − 1) ÷ 2.
Les probabilités
Quand toutes les issues ont la même chance : probabilité = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles. C’est un nombre entre 0 et 1. Un événement et son contraire ont des probabilités dont la somme vaut 1.
Pour deux tirages de suite, on fait un arbre : on multiplie les probabilités le long d’une branche, puis on additionne les branches qui conviennent.
Un sac contient 3 vis noires et 1 vis grise. P(grise) = 14 = 0,25 et P(pas grise) = 1 − 0,25 = 0,75.
Les statistiques
- Moyenne : la somme des valeurs divisée par leur nombre.
- Médiane : on range les valeurs dans l’ordre croissant ; c’est celle du milieu. S’il y a un nombre pair de valeurs, c’est la moyenne des deux du milieu. La moitié des valeurs est en dessous, l’autre moitié au-dessus.
- Étendue : la plus grande valeur moins la plus petite. Elle mesure l’écart entre les extrêmes.
Organiser les tâches d’un chantier
Une tâche commence quand toutes celles dont elle dépend sont finies. Sa date de début au plus tôt est la plus grande des dates de fin de ces tâches. La durée minimale du chantier est la fin au plus tôt de la dernière tâche. Les tâches sans aucune avance possible forment le chemin critique : un jour de retard sur l’une d’elles retarde tout le chantier. Les autres ont une marge.
A (2 j), puis B (3 j). C (4 j) se fait en même temps que A et B. D (1 j) vient après B et C. D commence au plus tôt après max(2 + 3 ; 4) = 5 jours, et le chantier dure 6 jours. C a 1 jour de marge.
Découper sans gâcher
Pour couper des pièces dans des barres de longueur commerciale : on calcule la longueur totale des pièces, ce qui donne le nombre minimal de barres (arrondi au-dessus), puis on cherche un plan de coupe qui l’atteint en mélangeant grandes et petites pièces dans une même barre. Chute totale = longueur achetée − longueur utile.